Question

（2012•黄石）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=

4

3

-1

．

Answer 1

分析：先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．

解答：解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=

1

2

OC，
∴OE=

1+t

2

，
在Rt△OPE中，
OE=OP•cos30°=2

3

，
∴

1+t

2

=2

3

，
∴t=4

3

-1，
故答案为：4

3

-1．

点评：本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．