题目内容
如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=
x的图象交于点A，且与x轴交于点B。
x的图象交于点A，且与x轴交于点B。
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒。
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒。
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）根据题意，得 ，解得  ，∴A（3，4）， 令y=-x+7=0，得x=7， ∴B（7，0）。 |
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| （2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4， 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8， 得  （3+7）×4- ×3×（4-t）- t（7-t）- t×4=8 整理，得t2-8t+12=0， 解之得t1=2，t2=6（舍） |
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| 当P在CA上运动，4≤t＜7， 由S△APR=  ×（7-t）×4=8，得t=3（舍） ∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8； |
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| ②当P在OC上运动时，0≤t＜4，此时直线l交AB于Q， ∴AP=  ，AQ= t，PQ=7-t当AP=AQ时， （4-t）2+32=2（4-t）2， 整理得，t2-8t+7=0， ∴t=1，t=7（舍） 当AP=PQ时， （4-t）2+32=（7-t）2， 整理得，6t=24， ∴t=4（舍去） 当AQ=PQ时，2（4-t）2=（7-t）2 整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3  （舍） |
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| 当P在CA上运动时，4≤t＜7， 此时直线l交AO于Q， 过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4， 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t， 由cos∠OAC=  ，得AQ= （t-4），当AP=AQ时，7-t=  （t-4），解得t=  ，当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=  AP 得t-4=  （7-t），解得t =5， 当AP=PQ时， 过P作PF⊥AQ于F AF=  AQ = × （t-4），在Rt△APF中， 由cos∠PAF=  ，得AF=  AP即  （t-4）= ×（7-t），解得t=  ，∴综上所述，t=1或  或5或 时，△APQ是等腰三角形。 |
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