Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E.  
（1）记的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形，DE=，试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝；
若直线经过点B（3，1）时，则b＝；
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1。
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1

此时E（2b，0）
∴S＝OE×CO＝×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）
∴S＝
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]
＝
∴
（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，
∴∠MED＝∠MDE，
∴MD＝ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，DE=，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴＝NE·DH＝
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．