题目内容

如图，反比例函数y₁的图象与一次函数y₂的图象交于A，B两点，y₂的图象与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA= $数学公式$ ，AD= $数学公式$ OD，点B的横坐标为 $数学公式$ ．
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

解：（1）如图，连接OB，
在Rt△AOD中，OA=5，AD= $\text{[math]}$ OD，即OD=2AD，
∵OD²+AD²=OA²，
∴4AD²+AD²=25，
解得AD=1，则OD=2，
∴A点坐标为（-2，1），
设y₁= $\text{[math]}$ ，把A（-2，1）代入得k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y₁=- $\text{[math]}$ ，

把x= $\text{[math]}$ 代入得y=- $\text{[math]}$ =-4，
∴B点坐标为（ $\text{[math]}$ ，-4）
设直线AB的解析式为y₂=ax+b，
把A（-2，1）、B（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ 4）代入得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为y₂=-2x-3；
把y=0代入y=-2x-3得x=- $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ；
（2）当y₁＞y₂时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于Rt△AOD中，OA=5，AD= $\text{[math]}$ OD，即OD=2AD，根据勾股定理可计算出AD=1，则OD=2，则A点坐标为（-2，1），利用待定系数法先确定反比例函数的解析式为y₁=- $\text{[math]}$ ，利用点B的横坐标为 $\text{[math]}$ 可确定B点坐标为（ $\text{[math]}$ ，-4），然后再利用待定系数法先可确定直线AB的解析式为y₂=-2x-3；为了求出△AOB的面积，可先求出C点坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（2）观察函数图象可得到当-2＜x＜0或x＞ $\text{[math]}$ 时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即y₁＞y₂．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数图象的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及勾股定理．