Question

已知：如图，分别以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，向外作等边三角形ABE和等边三角形BCF，连接EF、EC，延长EB交FC于M．
（1）求∠FBE的度数；
（2）求证：EF=EC；
（3）求证：EM⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠CBF=∠ABE=60°，然后根据周角的定义可计算出∠FBE=360°-∠CBF-∠CBA-∠ABE=150°；
（2）由于∠CBE=∠CBA+∠ABE=60°+90°=150°，结合（1）的结论得到∠FBE=∠CBE，再根据等边三角形的性质得到BF=BC，BE=BA，然后根据“SAS”可判定△BFE≌△BCE，则EF=EC；
（3）由△BFE≌△BCE，则EF=EC，∠FEB=∠CEB，于是BE平分等腰三角形EFC的顶角，根据等腰三角形的三线合一即可得到结论．

解答：（1）解：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴∠CBF=∠ABE=60°，
而∠CBA=90°，
∴∠FBE=360°-∠CBF-∠CBA-∠ABE=150°；

（2）证明：∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=60°+90°=150°，
∴∠FBE=∠CBE，
∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴BF=BC，BE=BA，
∵在△BFE和△BCE中

BF=BC ∠FBE=∠CBE BE=BA

，
∴△BFE≌△BCE（SAS），
∴EF=EC；

（3）证明：∵△BFE≌△BCE，
∴EF=EC，∠FEB=∠CEB，
∴BE平分等腰三角形EFC的顶角，
∴EB⊥CF，
即EM⊥CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．