题目内容
如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点
∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0
解得a＝1 b＝4
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y=
x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），
∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2+h=9，
解得h=
. ∴ 当 
≤h<
时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.
得 x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，
解得h=4.
此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.
综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h<.
（3）方法1
将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，
设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）.
假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,
∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)
∴2kxE·xF=（t-3）（xE+xF）
由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.
∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上.
方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上.
已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线．
阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
如图，将抛物线