Question

如图，矩形ABCD中，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半径R；
（2）连接FG，试判断△GFE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据勾股定理即可求得AC的长，然后根据△AOE∽△ACD，相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（2）根据90度的圆周角所对的弦是直径，即可得到FG是直径，再根据直径所对的圆周角是直角，即可判断．

解答：解：（1）连接OE，∵以OC为半径的圆切AD于E，∴OE⊥AD．（1分）
∵四边形ABCD是矩形，∠D=90°，
∴AC=

AD2+DC2

=

82+62

=10．（3分）
∵∠D=∠OEA，∠OAE=∠CAD，
∴△AOE∽△ACD．（5分）
∴

OE

CD

=

AO

AC

，即

R

6

=

10-R

10

．解得R=

15

4

．（7分）

（2）△GFE是直角三角形．理由如下：（8分）
∵∠DCB=90°，
∴FG为⊙O的直径．
∴∠FEG=90°，即：△GFE是直角三角形．（10分）

点评：本题主要考查了三角形的相似的判定与性质，以及圆周角定理，正确求得半径是关键．