Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为(－8，0)，点N的坐标为(－6，－4)．

(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标(点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C)；

(2)求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

(3)截取CE＝OF＝AG＝m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

(4)在(3)的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)利用中心对称性质，画出梯形OABC　　1分 　　∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， 　　∴A(0，4)，B(6，4)，C(8，0)　　3分 　　(写错一个点的坐标扣1分) 　　(2)设过A，B，C三点的抛物线关系式为， 　　∵抛物线过点A(0，4)， 　　∴c＝4．则抛物线关系式为y＝ax2＋bx＋4　　4分 　　将B(6，4)，C(8，0)两点坐标代入关系式，得 　　　　5分 　　解得　　6分 　　所求抛物线关系式为：　　7分 　　(3)∵OA＝4，OC＝8，∴AF＝4－m，OE＝8－m　　8分 　　∴ 　　OA(AB＋OCAF·AGOE·OFCE·OA 　　 　　(0＜m＜4)　　10分 　　∵．∴当时，S的取最小值． 　　又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值　　12分 　　(4)当时，GB＝GF，当m＝2时，BE＝BG　　14分