Question

已知如图，

AB

=120°，AB=

3

，sin∠CBA=

1

2

，∠ACB=Rt∠，BC与

AB

交于点D，则阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：

分析：首先根据特殊角的三角函数值得出∠ABC=30°，∠AOD=60°，进而得出AC，CD，OD的长，再利用S_阴影=S_△ACD-S_弓形AD进而得出答案．

解答：解：连接AO，DO，AD，过点O作OE⊥AD于点E，
∵sin∠CBA=

1

2

，∠ACB=Rt∠，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOD=60°，
∴

AD

=60°，
∵AO=DO，∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴EO=cos30°×DO，
∵

AB

=120°，
∴D为

AB

的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=30°，
∴∠ACD=30°，
∵AB=

3

，∠B=30°，
∴AC=

3

2

，
∴tan30°=

CD

AC

，
∴CD=

3

2

×

3

3

=

1

2

，
∴AD=1，
∴EO=

3

2

，
S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD=

60π×12

360

-

1

2

×

3

2

×1=

π

6

-

3

4

，
∴S_阴影=S_△ACD-S_弓形AD=

1

2

×

1

2

×

3

2

-（

π

6

-

3

4

）=

3 3

8

-

π

6

．
故答案为：

3 3

8

-

π

6

．

点评：此题主要考查了扇形面积公式以及三角形面积求法和圆周角定理以及锐角三角函数关系等知识，得出S_阴影=S_△ACD-S_弓形AD进而求出是解题关键．