Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．点和点分别从点和点同时出发沿轴正方向运动，同时点从点出发沿轴正方向运动，以，为邻边构造，已知点，的运动速度均为，点的运动速度为，运动时间为．过点的抛物线交轴于另一点（点在点的右侧），，且该二次函数的最大值不变，均为．

（1）①当时，求的长；（用含的代数式表示）；②当时，求点的坐标；

（2）当时，试判断点是否恰好落在抛物线上，并说明理由；

（3）若点关于直线的对称点恰好落在抛物线上，请求出所有满足条件的的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不在抛物线上，见解析；（3）1

【解析】

（1）①分别表示出点P与点E的坐标，即可得到PE的表达式；②当时，可得E，P,D的坐标，结合，为邻边构造的性质，即可求解；

（2）线求出点P，H的坐标，设抛物线的表达式为：，利用待定系数法，求出二次函数解析式，再求出点F的坐标，代入函数解析式验证，即可得到结论；

（3）先求出二次函数的解析式（含参数t），再分两种情况：①当时，②当时，分别求出点Q的坐标，进而即可求出t的值．

（1）①∵点，的运动速度均为，点的运动速度为，运动时间为．

∴P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∵，

∴-8+2t＜-5+t，

∴；

②∵当时，E(1，0)，P(4，0)，D(0，4)，

∴EP=3，OD=4，

∵以，为邻边构造，如图所示，

∴DF∥EP，DF=EP=3，

∴；

（2）∵当时，，

∴点坐标为，

∵，

∴点坐标为，

设抛物线的表达式为：，

把，代入，得，

∴，

当时，，，

∴点坐标为，

∵当时，，

∴点不在抛物线上；

（3）∵P(-8+2t，0)，H(-2+2t，0)，

∴抛物线的对称轴为：直线x=-5+2t，

∵该二次函数的最大值为，

设，

把P(-8+2t，0)代入，解得：a=，

∴过点的抛物线的表达式为：，

① 当时，

连接PQ交FE的延长线于点M，连接QE，则∠PME=90°，

∵EF∥PD，

∴∠MPC=90°

∵P(-8+2t，0)，D(0，-8+2t)，

∴OP=OD，

∴∠OPD=45°，

∴∠MPE=45°，

由对称性，可知：∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=3-t，

∴∠PEQ=180°-45°-45°=90°，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在抛物线上，

∴，解得：t1=1，t2=3（舍去），

②当时，

∵P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∴PE=t-3，

同理可得：∠PEQ=90°，∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=t-3，

∵Q在第三象限或第四象限，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在抛物线上，

∴，解得：t1=1（舍去），t2=3（舍去），

综上所述：点关于直线的对称点恰好落在抛物线上时，t的值为1．