Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，过点M作CM的垂线与边AC和CB的延长线分别交于点D和点E．
（1）求证：MC•BC=DM•AC；
（2）若tanA=，AD=6，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，
∴CM=AM=BM=AB，
∴∠A=∠ACM，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=∠ACB=90°，
∴△CDM∽△ABC，
∴MC：AC=DM：BC，
∴MC•BC=DM•AC；

（2）解：∵∠A=∠ACM，tanA=，
∴在Rt△CDM中，=，
∵CM=BM，
∴DM：BM=2：3，
∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠E=90°，
∴∠ACM=∠E，
∴∠A=∠E，
∵∠AMD=∠EMB，
∴△ADM∽△EBM，
∴AD：BE=DM：BM，
∵AD=6，
∴BE=×6=9．
分析：（1）由在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CM=AM=BM=AB，即可证得∠A=∠ACM，继而证得△CDM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得MC•BC=DM•AC；
（2）由tanA=，可得在Rt△CDM中，=，易证得△ADM∽△EBM，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．