Question

（2013•湖北）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是

15°或165°

．

Answer 1

分析：讨论：如图1，连结AE、BF，根据正方形与等边三角形的性质得OA=OB，∠AOB=90°，OE=OF，∠EOF=60°，根据“SSS”可判断△AOE≌△BOF，则∠AOE=∠BOF，于是∠AOE=∠BOF=

1

2

（90°-60°）=15°；如图2，同理可证得△AOE≌△BOF，所以∠AOE=∠BOF，则∠DOF=∠COE，于是∠DOF=

1

2

（90°-60°）=15°，所以∠AOE=180°-15°=165°．

解答：解：连结AE、BF，
如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵△OEF为等边三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60°，
∵在△OAE和△OBF中

OA=OB OE=OF AE=BF

，
∴△OAE≌△OBF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF=

1

2

（90°-60°）=15°，
如图2，
∵在△AOE和△BOF中

OA=OB OE=OF AE=BF

，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠DOF=∠COE，
∴∠DOF=

1

2

（90°-60°）=15°，
∴∠AOE=180°-15°=165°，
∴∠AOE大小为15°或165°．
故答案为15°或165°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质．