Question

（2013•成都一模）如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点．
（1）若∠ACB=58°，求∠ADC的度数；
（2）当

CD

=

1

2

AC

时，连接CD、AD，其中AD与直径BC相交于点E，求证：2CD²=CE•BC；
（3）在（2）的条件下，若∠COD=45°，CE=

2

，求

BC•CE

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理以及三角形内角和定理得出∠ADC的度数；
（2）利用

CD

=

1

2

AC

时，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，进而得出2CD²=EC•BC；
（3）根据（2）中条件得出∠AOC=90°，进而得出半径OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，求出x的值，即可得出

BE•CE

AB

的值．

解答：解：（1）如图1，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=58°，
∴∠B=90°-58°=32°，
∴∠ADC=32°；

（2）如图2，
∵

CD

=

1

2

AC

，
∴∠COD=∠EDC，
∵∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴

CD

CE

=

OC

CD

，
∴CD²=EC•CO，
∴2CD²=EC•BC；

（3）∵∠COD=45°，∠DAC=

1

2

∠COD，

CD

=

1

2

AC

，
∴AD平分∠OAC，∠AOC=90°，
如图3，过点E作EF⊥AC，
由题意可得出：∠BCA=45°，
∵EC=

2

，
∴EF=1，
设半径OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，
解得：x=

2

+1，
∴BC=2（

2

+1）=2

2

+2，
AB=

2

（

2

+1），
∴

BC•CE

AB

=

(2 2 +2)× 2

2 ( 2 +1)

=2．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出⊙O的半径是解题关键．