Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CM为斜边AB的中线，将△ACM沿CM折叠至如图所示位置，连接BD．
（1）求证：△BCM是正三角形；
（2）若BC=2，求四边形BCMD的面积．

Answer 1

证明：（1）在Rt△ABC中，因为CM为斜边AB的中线．
所以，BM=CM．
又因为∠A=30°，所以，∠ABC=60°．
所以BM=CM=BC
即△BCM为正三角形．
（2）因为∠DMC=∠AMC=120°．
所以，∠DMB=60°，
所以，DM∥BC，又因为DM=AM=BM=BC．
所以四边形BCMD为平行四边形．
所以S_△BCMD=2S_△BCM=．
分析：（1）由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=CM，又因为∠A=30°，所以，∠ABC=60°，所以BM=CM=BC进而证明：△BCM是正三角形；
（2）首先证明四边形BCMD是平行四边形，所以S_△BCMD=2S_△BCM=．
点评：本题考查了直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质和等边三角形的判定以及性质、平行四边形的判定和性质．