Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer 1

（1）如图，连接OC．  
  
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠1＝∠2．                      
∵OA=OC，
∴∠2＝∠3．  
∴∠1＝∠3．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB=6，
∴OB=OC=AB=3．
在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，
∴∠D＝30°，∠COD＝60°．
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，
∴AE＝AD=．
在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC=OB=3．

解析