Question

计算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+1998)(x+1999)

，并求当x=1时，该代数式的值．

Answer 1

分析：本题直接通分，按常规方法计算是不可能的，但我们能用

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

把每个分式写成两个分式的差，就可以先合并，再代入求值．

解答：解：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+1998)(x+1999)

=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+…+

1

x+1998

-

1

x+1999

=

1

x

-

1

x+1999

，
当x=1时，原式=1-

1

1+1999

=

1999

2000

．

点评：由于本题分式的分子为1，分母是两个连续整数的积，则运用逆向思维

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

，通过拆项，使正、负项抵消，使问题简化．