题目内容

如图，正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B、点P（m，n）在函数y= $数学公式$ （k＞0，x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当P点的横坐标大于B点的横坐标，且S_{四边形AEPG}= $数学公式$ 时，求PA所在的直线方程；
（3）求函数y=m+n的最小值；
（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，则a+b≥2 $数学公式$ ，当且仅当a=b时等号成立．）

解：（1）∵正方形OABC的面积是9，
∴AB=BC=3，
即B点坐标为（3，3），
把B（3，3）代入函数y= $\text{[math]}$ 中，
得k=xy=9；

（2）设P（a， $\text{[math]}$ ），（a＞3），则PG=a-3，PE= $\text{[math]}$ ，
由S_{四边形AEPG}=PG×PE= $\text{[math]}$ ，得（a-3）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得a=6，故P（6， $\text{[math]}$ ），
设直线PA解析式为y=kx+b，将P（6， $\text{[math]}$ ），A（3，0）两点坐标代入，
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线PA的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）∵点P（m，n）在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，
∴n= $\text{[math]}$ ，
∴y=m+n=m+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =6，
∴函数y=m+n的最小值为6．
分析：（1）根据正方形OABC的面积是9，可求B点坐标为（3，3），把B点坐标代入函数y= $\text{[math]}$ 中，可求k=9；
（2）设P（a， $\text{[math]}$ ），（a＞3），则PG=a-3，PE= $\text{[math]}$ ，由S_{四边形AEPG}=PG×PE= $\text{[math]}$ ，列方程求a，设直线PA解析式为y=kx+b，将P、A两点坐标代入可求直线PA的解析式；
（3）点P（m，n）在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，可知n= $\text{[math]}$ ，故y=m+n=m+ $\text{[math]}$ ，再根据平均值定理求最小值．
点评：此题主要考查反比例函数解析式、一次函数解析式的求法，注意通过解方程求点的坐标，列方程组求直线的解析式．同时要注意运用数形结合的思想．