Question

（本题12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点， ∠AOB= 110°，
∠BOC= ，△BOC ≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD。
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形。
 

Answer 1

（1）证明：∵△BOC≌△ADC ，
∴OC="DC" 。——1分
∵∠OCD= ，
∴△OCD是等边三角形。——1分
（2）解：△AOD是Rt△ 。 ——1分
理由如下：
∵△OCD是等边三角形 ，
    ∴∠ODC= ，
∵△BOC≌△ADC ，∠α= ，
∴∠ADC=∠BOC=∠α= ，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=－= ，
∴△AOD是Rt△ 。——2分
（3）解：
∵△OCD是等边三角形 ，
∴∠COD=∠ODC=。
  ∵∠AOB= ，∠ADC=∠BOC=α ，
∴∠AOD=－∠AOB－∠BOC－∠COD=－－α－=－α ，
∠ADO=∠ADC－∠ODC=α－ ，
∴∠OAD=－∠AOD－∠ADO=－（－α）－（α－）= 。
①当∠AOD=∠ADO时，
－α=α－ ，   ∴α= 。——2分
②当∠AOD=∠OAD时，
－α= ，       ∴α= 。——2分
③当∠ADO=∠OAD时，
α－= ，        ∴α= 。——2分
综上所述：当α=或或时，△AOD是等腰三角形。——1分解析:
略