Question

已知二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，
（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；
（2）求证：函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴函数顶点的纵坐标为0，
∴==0，
∴4（n-1）-4m²=0，
∴（n-1）=m²≥0，
∴函数开口方向向上；

（2）∵函数顶点的纵坐标为0，
∴4（n-1）=4m²，
∵△=（2n-2）²-4m²（-1）=4（n-1）²+4m²=4m⁴+4m²，
∴△＞0，
∴函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．
分析：（1）根据函数的顶点坐标在x轴上，可以知函数顶点的纵坐标为0，然后求出（n-1）的范围，从而求解．
（2）已知函数的解析式为y=m²x²+2（n-1）x-1，根据判别式△与0的关系，来判断函数与x轴交点的个数．
点评：（1）第一问主要考查函数的基本性质及顶点坐标公式，函数开口的方向，比较简单；
（2）第二问主要利用根的判别式来求解，要利用第一问的结论，计算要仔细．