Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，I是内心，⊙I与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F．求△ABC的内切圆半径r．

Answer 1

答案：
解析：

分析一：由于∠IEC＝∠IFC＝∠C＝90°，IE＝IF，所以四边形IECF是正方形，这个正方形的边长等于内切圆半径r．我们可以用这个结论来解题． 　　解法一：连接ID、IE、IF．设AD＝x，BD＝y，CE＝z， 　　则得方程组 　　解这个方程组，得z＝(a＋b－c)． 　　由题意，知∠IEC＝∠IFC＝∠C＝90°，IE＝IF，所以四边形IECF是正方形，所以z＝r． 　　所以内切圆半径r＝(a＋b－c)． 　　分析二：运用等积变换来求解． 　　解法二：连接AI、BI、CI(如题图)． 　　因为S△ABC＝S△ABI＋S△BCI＋S△ACI，而S△ABC＝ab，S△ABI＝cr，S△BCI＝ar，S△ACI＝br，所以ab＝cr＋ar＋br．所以r＝． 　　注：将一个图形分割为几个图形，则这几个图形面积的和等于原图形的面积，这是等积变换的基本关系之一．