Question

正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为________cm²．

Answer 1

    
分析：设BM=xcm，则MC=1-xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：设BM=xcm，则MC=1-xcm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN==x（1-x），
∴S_{四边形ABCN}=×1×[1+x（1-x）]=-x²+x+，
∵-＜0，
∴当x=-=cm时，S_{四边形ABCN}最大，最大值是-×（）²+×+=cm²．
故答案是：，．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．