题目内容
（2012•金山区二模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC于点E．（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB=6，cos∠B=
| 3 | 5 |
分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，根据圆的半径相等可得出AB=AE，结合等腰三角形的性质和平行线的性质可得出∠B=∠EAD，从而利用SAS可证得结论．
（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=HE，则结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC=BC-BE即可得出答案．
（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=HE，则结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC=BC-BE即可得出答案．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AB=AE（AB与AE为圆的半径），
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
故可得△ABC≌△EAD．
（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，cos∠B=
，
又∵cos∠B=
，AB=6，
∴BC=10，
过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，
则BH=HE，
在Rt△ABH中，cos∠B=
，
则可得
=
，
解得：BH=
，
∴BE=
，
故可得EC=BC-BE=
．
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AB=AE（AB与AE为圆的半径），
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
|
故可得△ABC≌△EAD．
（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，cos∠B=
| AB |
| BC |
又∵cos∠B=
| 3 |
| 5 |
∴BC=10，
过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，
则BH=HE，在Rt△ABH中，cos∠B=
| BH |
| AB |
则可得
| 3 |
| 5 |
| BH |
| 6 |
解得：BH=
| 18 |
| 5 |
∴BE=
| 36 |
| 5 |
故可得EC=BC-BE=
| 14 |
| 5 |
点评：此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
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