Question

如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC两边的中点，且AB+CD=2EF，
求证：AB∥CD．

Answer 1

分析：由中点可判断应连接一对角线，构造三角形的中位线，利用反证法，求得与已知不符，来判定原图形为梯形．

解答：证明：假设AB与CD不平行．
如图所示，连接AC，取中点G，连接EG，FG．
∴EG=

1

2

CD，FG=

1

2

AB．
在△EGF中，EF＜EG+FG，
∴EF＜

1

2

（AB+CD），即AB+CD＞2EF，
这与已知相矛盾．
∴假设不能成立，
∴AB∥CD．

点评：本题考查梯形中位线的逆定理，题中条件较少，找不到可以直接利用的条件得到所求结论时，可用反证法求解．