题目内容
已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，试求(
+
+
+…+
+
)+(
+
+
+…+
+
)的值．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，试求(
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| α3 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| β3 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| β2011 |
分析：（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，代入（α1-2）（β1-2），=α1β1-2（α1+β1）+4，求出其结果是-a2-a，求出-a2-a＜0即可；
（2）得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1），把(
+
+
+…+
+
)+(
+
+
+…+
+
)变形为
+
+
+…+
，代入后得出-2×（1-
+
-
+
-
+…+
-
），推出-2×（1-
），求出即可．
（2）得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1），把(
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| α3 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| β3 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| β2011 |
| α1+β1 |
| α1β1 |
| α2+β2 |
| α2β2 |
| α3+β3 |
| α3β3 |
| α2011+β2011 |
| α2011β2011 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2011 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 2012 |
解答：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，
则α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，
∴（α1-2）（β1-2）
=α1β1-2（α1+β1）+4
=-a2-a-2×2+4
=-a2-a，
∵a＞0，
∴-a2-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）解：∵α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，
∴(
+
+
+…+
+
)+(
+
+
+…+
+
)
=
+
+
+
+
+
+…+
+
+
+
=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=-2×（
+
+
+…+
）
=-2×（1-
+
-
+
-
+…+
-
）
=-2×（1-
）
=-
．
则α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，
∴（α1-2）（β1-2）
=α1β1-2（α1+β1）+4
=-a2-a-2×2+4
=-a2-a，
∵a＞0，
∴-a2-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）解：∵α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，
∴(
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| α3 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| β3 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| β2011 |
=
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| α3 |
| 1 |
| β3 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β2011 |
=
| α1+β1 |
| α1β1 |
| α2+β2 |
| α2β2 |
| α3+β3 |
| α3β3 |
| α2011+β2011 |
| α2011β2011 |
=
| 2 |
| -1×2 |
| 2 |
| -2×3 |
| 2 |
| -3×4 |
| 2 |
| -2011×2012 |
=-2×（
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2011×2012 |
=-2×（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2011 |
| 1 |
| 2012 |
=-2×（1-
| 1 |
| 2012 |
=-
| 2011 |
| 1006 |
点评：本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．
练习册系列答案
小学数学口算题卡脱口而出系列答案
优秀生应用题卡口算天天练系列答案
浙江之星课时优化作业系列答案
相关题目
已知关于x的一元二次x2-6x+k+1=0的两个实数根x1，x2，
+
=1，则k的值是（ ）
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| A、8 | B、-7 | C、6 | D、5 |
．
．