Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，作边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（不写画法，保留作图痕迹），并说明线段DE与BC边的数量关系．

Answer 1

解：（1）AB的垂直平分线DE如图所示；
连接AE，∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠B=30°，
∴BE=2DE，
又∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CAE=90°-30°×2=30°，
∴∠CAE=∠BAE，
∴AE平分∠CAB，
∴DE=CE，
∴BC=DE+2DE=3DE．
分析：分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两边相交于两点，过两交点作直线即可；
连接AE，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BE=2DE，然后求出AE是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CE，然后求解即可．
点评：本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．