Question

如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

(1)求证：BF＝AC；

(2)求证：CE＝BF；

(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：因为CD⊥AB，∠ABC＝45°， 　　所以△BCD是等腰直角三角形．所以BD＝CD． 　　在Rt△DFB和Rt△DAC中， 　　因为∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，所以∠DBF＝∠DCA． 　　又因为∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， 　　所以△DFB≌△DAC．所以BF＝AC． 　　(2)证明：在Rt△BEA和Rt△BEC中， 　　因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE． 　　又因为BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°． 　　所以Rt△BEA≌Rt△BEC．所以CE＝AE＝AC． 　　又由(1)，知BF＝AC，所以CE＝BF． 　　(3)CE＜BG． 　　证明：如下图，连接CG． 　　因为△BCD是等腰直角三角形，所以BD＝CD． 　　又因为H是BC边的中点，所以DH垂直平分BC． 　　所以BG＝CG． 　　在Rt△CEG中，因为CG是斜边，CE是直角边， 　　所以CE＜CG．所以CE＜BG．