Question

如图，在直角坐标系内，过点C（3，6）分别作x轴和y轴的垂线CB和CA，垂足分别为B和A，点P从点O沿OB向B以1个长度单位/秒的速度运动，点Q从点B沿BC向C以2个长度单位/秒的速度运动．如果P、Q分别从O、B同时出发，运动时间为t，试求：
（1）t为何值时，△PBQ的面积等于2个平方单位；
（2）若P、B、Q三点构成的三角形与A、B、C三点构成的三角形相似，求此时P和Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）可设OP=t，BQ=2t，则有PB=OB-OP=3-t．根据三角形的面积公式得出关于t的方程，即可求出此时t的值；
（2）分为①若△PBQ∽△ACB；②若△PBQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质即可求出P和Q点的坐标．

解答：解：（1）根据题意有OB=3，BC=6
∵OP=t，BQ=2t
∴PB=OB-OP=3-t（2分）
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

•2t（3-t）=-t²+3t
当S_△PBQ=2时，-t²+3t=2，即t²-3t+2=0（t-1）（t-2）=0
∴t₁=1，t₂=2（4分）
∴当t=1或t=2时，△PBQ的面积等于2个平方单位．

（2）∵∠ACB=∠PBQ=90°
①若△PBQ∽△ACB
则

BP

CA

=

BQ

CB

即

3-t

3

=

2t

6

∴t=

3

2

此时P点坐标为P（

3

2

，0），Q点坐标为Q（3，3）（7分）
②若△PBQ∽△BCA
则

BP

CB

=

BQ

CA

即

3-t

6

=

2t

3

∴t=

3

5

此时P点坐标为P（

3

5

，0），Q点坐标为Q，3，

6

5

）（10分）
∴若P、B、Q三点构成的三角形与A、B、C三点构成的三角形相似，此时P和Q
点的坐标分别为P（

3

2

，0），Q（3，3）或P（

3

5

，0），Q（3，

6

5

，3）．

点评：本题主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，要注意的是（2）中，要根据P点和Q点的不同位置进行分类求解．