Question

（2013•潮安县模拟）如图，⊙M与x轴相切于点C，与y轴的一个交点为A．
（1）求证：AC平分∠OAM；
（2）如果⊙M的半径等于4，∠ACO=30°，求AM所在直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）连结MC，则MC⊥x轴，MC∥y轴，得出∠MCA=∠OAC，再根据MA=MC，得出∠MCA=∠MAC，∠OAC=∠MAC即可，
（2）先证出△MAC是等边三角形得出AC=MC=4，求出在Rt△AOC中，OA=2，得出A点的坐标，再根据OC=

AC2-OA2

求出OC，得M点的坐标，最后设AM所在直线的解析式为y=kx+b，把A、B点的坐标代入计算即可．

解答：（1）证明：∵圆M与x轴相切于点C
连结MC，则MC⊥x轴，
∴MC∥y轴，
∴∠MCA=∠OAC，
又∵MA=MC，
∴∠MCA=∠MAC，
∴∠OAC=∠MAC
即AC平分∠OAM；   

（2）解：∵∠ACO=30°，
∴∠MCA=60°，
∴△MAC是等边三角形
∴AC=MC=4
∴在Rt△AOC中，OA=2
即A点的坐标是（0，2），
又∵OC=

AC2-OA2

=

42-22

=2

3

，
∴M点的坐标是（2

3

，4），
设AM所在直线的解析式为y=kx+b
则

2=0•k+b 4=2 3 k+b

，
解得k=

3

3

，b=2            
∴AM所在直线的解析式为y=

3

3

x+2．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、等边三角形的性质、求一次函数的解析式，关键是做出辅助线得出等边三角形．