Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AD=2，AB=，BC=4．动点G以每秒1个单位的速度，从点A出发沿AD向终点D运动，同时动点E以每秒2个单位的速度，从点B出发沿BC向终点C运动．过点E作EF⊥BC，交CD于点F，连接GE、GF．设运动时间为t秒．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：GE∥DC；
（3）当t为何值时，四边形GECF是平行四边形．

Answer 1

【答案】分析：（1）过B点作BH⊥DC，垂足为H，由已知条件可证明四边形ABHD是矩形，BH=AD=2，在Rt△BHC中，BH=2，BC=4，进而求出∠BCD的度数；
（2）过E点作AB的垂线，交AB的延长线于K，证明四边形AKEG是矩形，由矩形的性质即可得到GE∥DC；
（3）由（1）、（2）可知∠EBK=30°，GE∥DC∥AB，四边形AKEG为矩形，我也GE∥DC，所以当FC=GE时，四边形GECF是平行四边形，即=+t，解得：t=，
所以当t=时，四边形GECF是平行四边形．
解答：解：（1）过B点作BH⊥DC，垂足为H，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠D=∠A=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD=2，
在Rt△BHC中，BH=2，BC=4，
∴∠BCD=30°；

（2）过E点作AB的垂线，交AB的延长线于K，
∴EK∥AG，
∵AB∥DC，∠C=30°，
在Rt△BEK中，BE=2t，∠CBK=30°，
∴EK=t，
又∵AG=t，
∴四边形AKEG是矩形，
∴GE∥DC；

（3）由（1）、（2）可知∠EBK=30°，GE∥DC∥AB，四边形AKEG为矩形，
∵BE=2t，
∴BK=2tcos30°=t，
∴AK=GE=AB+BK=+t，
∵EF⊥BC，∠C=30°，
∴FC===，
∵GE∥DC，
∴当FC=GE时，四边形GECF是平行四边形，
即=+t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形GECF是平行四边形．
点评：本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半、特殊角的锐角三角函数值以及平行四边形的判定和性质，题目的综合性很好，难度中等．