题目内容
如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC．
分析：连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．由塞瓦定理，可得
•
•
=1，再根据角平分线的性质得
=
．从而可证明CI∥AB，CJ∥AD，则
=
，
=
．
可证明△ACI≌△ACJ，则∠IAC=∠JAC，从而可得出∠GAC=∠EAC．
| CG |
| GB |
| BH |
| HD |
| DE |
| EC |
| BH |
| HD |
| AB |
| AD |
| CG |
| GB |
| CI |
| AB |
| DE |
| EC |
| AD |
| CJ |
可证明△ACI≌△ACJ，则∠IAC=∠JAC，从而可得出∠GAC=∠EAC．
解答：
证明：如图，连接BD交AC于H，
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．
对△BCD用塞瓦定理，可得
•
•
=1①
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知
=
．
代入①式得
•
•
=1②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则
=
，
=
．
代入②式得
•
•
=1．
从而CI=CJ．又由于
∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．
证明：如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．
对△BCD用塞瓦定理，可得
| CG |
| GB |
| BH |
| HD |
| DE |
| EC |
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知
| BH |
| HD |
| AB |
| AD |
代入①式得
| CG |
| GB |
| AB |
| AD |
| DE |
| EC |
因为CI∥AB，CJ∥AD，则
| CG |
| GB |
| CI |
| AB |
| DE |
| EC |
| AD |
| CJ |
代入②式得
| CI |
| AB |
| AB |
| AD |
| AD |
| CJ |
从而CI=CJ．又由于
∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．
点评：本题是一道难度较大的竞赛题，考查了梅捏劳斯定理和赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
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