题目内容
（2004•淮安）如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A-E-C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）
（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）
【答案】分析：（1）当相邻两个面放在同一平面内时，过AC1的线段必过公共棱的中点，按此方法，可画出A，C1所在的相邻面的所有公共棱的中点；
（2）联系（1）中的4个结论，分别画出图形，利用勾股定理求得两点间的最短路线，进而求解．
解答：解：（1）画出图①中A?E2?C1，A?E3?C1，A?E4?C1中任意一条路径；（E1、E2、E3分别为各棱中点）
（说明：无画法，扣2分）
（2）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：
可以看出，图②-1与图②-2中的路径相等，图②-3与图②-4中的路径相等．
①设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）2=（10-x）2+202，
解得x=10；
设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E2→F爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，
如图②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）2=（20-y）2+102，
解得y≈8；
所以昆虫乙从顶点A爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟．
[说明]未考虑到A→E→F和图④中其它路径，而直接按路径A→E→F（或A→E→F）计算，并求出正确答案的不扣分．
点评：立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
（2）联系（1）中的4个结论，分别画出图形，利用勾股定理求得两点间的最短路线，进而求解．
解答：解：（1）画出图①中A?E2?C1，A?E3?C1，A?E4?C1中任意一条路径；（E1、E2、E3分别为各棱中点）
（说明：无画法，扣2分）
（2）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：
可以看出，图②-1与图②-2中的路径相等，图②-3与图②-4中的路径相等．
①设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）2=（10-x）2+202，
解得x=10；
设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E2→F爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，
如图②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）2=（20-y）2+102，
解得y≈8；
所以昆虫乙从顶点A爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟．
[说明]未考虑到A→E→F和图④中其它路径，而直接按路径A→E→F（或A→E→F）计算，并求出正确答案的不扣分．
点评：立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
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