Question

已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．
（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．
（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠ABC=90°，∠ABF=∠BCE=45°，OB=OC，又由AG⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠BAF=∠CBE，即可证得△ABF≌△BCE，可得BF=CE，继而可证得OE=OF．
（2）证明方法同（1），可求得∠ABF=∠BCE=135°，利用同角的余角相等，即可得∠BAF=∠CBE，即可证得△ABF≌△BCE，可得BF=CE，继而可证得OE=OF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABF=∠BCE=45°，OB=OC，
∴∠CBE+∠ABG=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BF=CE，
∴OB-BF=OC-CE，
即OE=OF；

（2）OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ACB=45°，OB=OC，
∴∠ABF=∠BCE=135°，
∴∠CBE+∠ABG=180°-∠ABC=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
∵

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BF=CE，
∴OB+BF=OC+CE，
即OE=OF．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得△ABF≌△BCE是解此题的关键．