Question

（2012•金山区一模）据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10：00巡逻船在A处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C处有一个不明物体正在向正东方向移动，10：15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的D处．若巡逻船的速度是每小时36海里，
（1）试在图中画出点D的大致位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？
[备用数据：sin53.1°=0.8，cos53.1°=0.6，cot53.1°=0.75；sin18.4°=0.32，cos18.4°=0.95，cot18.4°=3；]．

Answer 1

分析：（1）设10：15时，巡逻船在B处，作北偏东18.4°方向，交过点C的水平线于点D即可；利用53.1°的三角函数值求得AF，CF长，进而求得FB即CG的长，进而利用18.4°的正切值可得GD长，也就求得了CD长，除以时间即为移动的速度；
（2）两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离，根据GD和BQ相等可得相应的关系式．

解答：解：（1）作AE⊥AB，CF⊥AB于点F，BG⊥CD于点G，由题意，∠EAC=53.1°，∠GBD=18.4°，

在△CAF中，CF⊥AB，∠ACF=∠EAC=53.1°
∴AF=AC•sin53.1°=10×0.8=8，CF=AC•cos53.1°=10×0.6=6，
∴BG=CF=6
又AB=

36

60

×15=9，
∴FB=AB-AF=9-8=1，从而CG=BF=1
在△BDG中，BG⊥CD，∠GBD=18.4°
∵cot18.4°=3，
∴tan18.4°=

1

3

∴GD=BG•tan18.4°=6×

1

3

=2，
∴CD=CG+GD=1+2=3，3÷

15

60

=12（海里/小时），

（2）由题意，不明物体沿CD移动，我巡逻船沿AB运动，且CD∥AB，
∴两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离．
设又过了t分钟，不明物体移动到点P，我巡逻船到达点Q，这时PQ⊥AB，

则 DP=

12

60

t=

1

5

t，BQ=

36

60

t=

3

5

t，
∴

1

5

t+2=

3

5

t，解得t=5．
∴10：20两者之间距离最近．

点评：考查解直角三角形的应用；利用所给角的度数作出相应辅助线，得到直角三角形是解决本题的突破点；利用相应的锐角三角函数求得相关线段长是解决本题的关键．