Question

我们来探究“雪花曲线”的有关问题：下图是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如下图；再将下图的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如下图．
（1）求第5个图形周长．
（2）求第n个图形与周长C的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）注意首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系．再进一步得到第5个图形周长和第一个图形的周长之间的关系．
（2）根据（1）中分析直接得出规律，依此得出第n个图形与周长C的函数关系式．

解答：解：（1）观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的

1

3

．第三个在第二个的基础上，多了其周长的

1

3

．依此类推，第二个周长：3×

4

3

，
第三个周长：3×

4

3

×

4

3

，
第四个周长：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
第五个周长：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
则得到的第5个图形的周长是3×（

4

3

）⁴=

256

27

．

（2）n次分形，边长变为原来的(

4

3

)n，
∴周长C=3×(

4

3

) (n-1)，
即第n个图形与周长C的函数关系式为：C=3×（

4

3

）^n-1．

点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．读懂题目信息并灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．