Question

【题目】已知一次函数y=﹣ x+2和y=2x﹣3的图象分别交y轴与A、B两点，两个一次函数的图象相交于点P．

（1）求△PAB的面积；
（2）求证：∠APB=90°；
（3）若在一次函数y=2x﹣3的图象上有一点N，且横坐标为x，连结NA，请直接写出△NAP的面积关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得： ，

解得： ，

则P的坐标是（2，1）．

在y=﹣ x+2中令x=0，解得y=2，则A的坐标是（0，2），

在y=2x﹣3中令x=0，解得y=﹣3，则B的坐标是（0，﹣3），

则AB=5，

则S△PAB= ×5×2=5

（2）证明：∵PA2=22+（2﹣1）2=5，

BP2=22+（1+3）2=20，

AB2=25，

∴PA2+BP2=AB2，

∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°

（3）解：N的横坐标是x，则纵坐标是（x，2x﹣3）．

则PN= = |x﹣2|，

当x＞2时，PN= （x﹣2），

则△NAP的面积S= PAPN= × × （x﹣2）= （x﹣2）；

当x＜2时，PN= （2﹣x），

则△NAP的面积S= PAPN= × × （2﹣x）= （2﹣x）

【解析】（1）解两个函数解析式组成的方程组求出P点的坐标，再分别求出A、B的坐标，即得AB的长，△ABP的面积等于AB与P点横坐标乘积的一半可求出；
（2）利用勾股定理的逆定理来证明；
（3）勇x可表示出PN的长，根据△NAP的面积S=PAPN可得到关系式.