Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4,与y轴交于点C，且过点(2,3)．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D,连接CD、CB,问抛物线上是否存在点P,使得∠PBC+∠BDC=90°. 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点K抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由

Answer 1

（1）        ．
（2）存在,可证明DC⊥BC,由∠PBC+∠BDC=90°,知找一点P,使得∠PBC=∠DBC,故知P有两个位置:(1,4)和
（3）存在4个这样的点F，分别是

解析（1）抛物线的对称轴：x=﹣=﹣=1，且AB=4，则 A（﹣1，0）、B（3，0）；
再代入点（2，3）后，可得：
，解得
∴二次函数的表达式：y=﹣x²+2x+3．
（2）由（1）知：y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，则 D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即点D符合点P的要求，P₁（1，4）．
延长DC至E，使得DC=CE，则△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，则直线BE与抛物线的交点也符合点P的要求（B点除外）
通过图示，不难看出点D、E关于点C对称，则 E（﹣1，2），设直线BE：y=kx+b，则有：
，解得
∴直线BE：y=﹣x+，联立抛物线的解析式后，得：
，解得（舍）、
∴P₂（﹣，）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，4）、（﹣，）．
（3）易知点K（2，3）；
由题意，A、F都在x轴上，根据平行四边形的特点不难看出点G的纵坐标为3或﹣3；
当y_G=3时，﹣x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G点坐标为（0，3），
此时点F的坐标为（﹣1﹣2，0）或（﹣1+2，0），即（﹣3，0）、（1，0）；
当y_G=﹣3时，﹣x²+2x+3=﹣3，解得 x=1±，
∴G点坐标为（1+，0）或（1﹣，0），
此时点F的坐标为（4+，0）、（4﹣，0）；
综上，有四个符合条件的点F，且坐标为（﹣3，0）、（1，0）、（4+，0）、（4﹣，0）．