Question

【题目】如图，抛物线y＝－x2－x＋与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴于点C，已知点D(0，－)．

（1）求直线AC的解析式；

（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD的面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；

（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△PBQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E，则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线AC的表达式为；（2）的最小值为；（3）或或或.

【解析】分析：（1）求出两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

过点P作y轴的平行线交直线BD于点F, 设点 ，则,表示出的长度，根据，构建出二次函数，根据二次函数的性质求出最值即可.

分三种情况进行讨论即可.

详解：（1）

、、

设直线AC的表达式为，将、代入解析式：

可得 则直线AC的表达式为 ；

（2）可得直线BD的解析式为，过点P作y轴的平行线交直线BD于点F,

设点 ，则.

，

.

当，即时，最大；

则，过点P作对称轴的垂线，垂足为点，可得

作关于轴的对称点，连接，交轴与点，

再过点作对称轴的垂线，垂足为点，即、为所求点．

此时

，则最小值为 ；

（3）当时，或

当时，.

当时，.