Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解为x=

2k+1± 1

2

，即x₁=k，x₂=k+1，
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．