题目内容
25、分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，并根据你发现的规律直接写出多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n-1分解因式的结果．
分析：通过逐次提取公因式1+x，使1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3实现因式分解．再根据上面的因式分解结果与已知式，寻找规律．
解答：解：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]，（2分）
=（1+x）{（1+x）[1+x+x（1+x）]}，（4分）
=（1+x）2[（1+x）（1+x）]，（6分）
=（1+x）4，（8分）
1+x+x（1+x）+x（1+x）2++x（1+x）n-1=（1+x）n．（10分）
=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]，（2分）
=（1+x）{（1+x）[1+x+x（1+x）]}，（4分）
=（1+x）2[（1+x）（1+x）]，（6分）
=（1+x）4，（8分）
1+x+x（1+x）+x（1+x）2++x（1+x）n-1=（1+x）n．（10分）
点评：本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是采用提取公因式法因式分解．
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