Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC=3，AE=4．
①求AD的值；②求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；
（2）由三角形相似可以算出AD，阴影部分的面积等于扇形的面积-三角形的面积．

解答：（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED．（1分）
AE为直径，∠ADE=90°，
AC⊥BC，∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：①∵AE为直径，
∴∠ADE=∠C=90°．
又由（1）知∠DAO=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，
∵AC=3，AE=4，
∴AD2=AE?AC=3×4=12，
∴AD=

12

=2

3

．
②在Rt△ADE中，cos∠DAE=

AD

AE

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠DAE=30°．
∴∠AOD=120°，DE=2．
∴S△AOD=

1

2

S△ADE=

1

2

×

1

2

AD×DE=

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=

4π

3

-

3

．

点评：本题主要考查扇形面积的计算和弦切角定理，三角形相似的判定与性质．