Question

如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，TC=

3

，求弦AD的长．

Answer 1

分析：（1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．

解答：证明：（1）连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=

3

，
∴在Rt△AOM中，AM=

OA2-OM2

=

4-3

=1，
∴弦AD的长为2．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．