题目内容

如图，一抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，对称轴x= $数学公式$ 与x轴相交于点E，且OC=2，tan∠ACO= $数学公式$ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上找一点D，使△ADC周长最短，求此时线段DE的长；
（3）探究：在（1）中抛物线上是否存在点P，使PB=PC？若存在，求出P的坐标，请说明理由．

解：（1）在Rt△ACO中，
∵OC=2，tan∠ACO= $\text{[math]}$ ，
∴OA=1，∴A（-1，0），C（0，2），
由对称性易知B（4，0）
∴设过A、B、C三点的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
∴2=a（0+1）（0-4），
解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ （x+1）（x-4）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2；

（2）连接BC交对称轴x= $\text{[math]}$ 于一点D．
∵点A、B关于x= $\text{[math]}$ 对称，
∴D点即为所求的点，
连接AD，此时△ADC的周长最短；
∵OE= $\text{[math]}$ ，OB=4，
∴BE= $\text{[math]}$ ，
∵DE∥CO，易证：△BDE∽△BCO，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ ；

（3）存在．
设F为BC的中点，则点P为直线EF与抛物线的交点，可求得F（2，1），
∴直线EF的解析式为：y=2x-3，
由2x-3=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ +2，
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∴符合条件的点P的坐标为：
P₁（ $\text{[math]}$ ，-4+ $\text{[math]}$ ），P₂（ $\text{[math]}$ ，-4- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据题意可得出A、C两点的坐标，由对称性易知点B的坐标，设过A、B、C三点的解析式，代入数据即可得出解析式；
（2）连接BC交对称轴于一点D．可求得BE的长，由平行线的性质进而得出DE的长；
（3）先下结论，再设F为BC的中点，则点P为直线EF与抛物线的交点，可求得F的坐标，得出EF的解析式，根据交点坐标的求法即可得出答案．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程的解法，综合性较强，难度较大．