Question

如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）列出关于b和c的二元一次方程组，求出b和c，抛物线解析式求出，顶点坐标即可求出；
（2）假设存在P（a，0），分三种情况进行讨论，①当PB=PA时，②当PB=BA时，③当PA=AB时，分别求出满足△PAB是等腰三角形时a的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3），
∴

-16+4b+c=0 -1+b+c=3

，
∴

b=4 c=0

，
∴抛物线的表达式y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），

（2）假设存在P（a，0），
①当PB=PA时，

(1-a)2+32

=|4-a|，
解得a=1，
此时P点坐标为（1，0），
②当PB=BA时，

(1-a)2+32

=

32+(1-4)2

，
解得a=-2，
此时P点坐标为（-2，0），
③当PA=AB时，
|a-4|=3

2

，
解得a=4+3

2

或a=4-3

2

，
此时P点坐标为（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0），
综上所述，满足条件P的坐标（1，0）、（-2，0）、（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0）．

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是正确求出函数的解析式，解答第二问的时候需要分三种情况进行讨论，同学们很容易出现漏解的情况，请同学们解答的时候稍加注意．