Question

现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且CD=

2

，那么AD=

 

．

Answer 1

分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=

2

，
则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=

2

，根据AD=

2

DG即可求出AD．

解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），
∴∠EAF=∠EAB=45°，
又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．连DE，
∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=

2

，
∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，
又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴∠NDM=∠GDM，
∴Rt△NMD≌Rt△GMD，
∴DG=DN=

2

，
∴AD=

2

DG=2．
故答案为2．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．