Question

已知抛物线y＝－ax²＋2ax＝b与x轴的一个交点为A(－1，0)，与y轴的正半轴交于点C．

(1)直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

(3)坐标平面内是否存在点M，使得以点M和(2)中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对称轴是直线：，点B的坐标是(3，0)　　2分 　　说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分． 　　(2)如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(－1，0)、B(3，0)， 　　∴AB＝4．∴ 　　在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1， 　　∴ 　　∴b＝　　3分 　　当时， 　　∴　　4分 　　∴　　5分 　　(3)存在　　6分 　　理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为． 　　①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB． 　　由(2)知，AB＝4，∴|x|＝4，． 　　∴x＝±4．∴点M的坐标为　　9分 　　说明：少求一个点的坐标扣1分． 　　②当以AB为对角线时，点M在x轴下方． 　　过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°． 　　∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB． 　　∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝． 　　∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2． 　　∴点M的坐标为　　12分 　　说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式， 　　然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分． 　　综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为． 　　说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分．