Question

　　(黑龙江省2002年中考试题)已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h.“若点P在一边BC上，如图1所示，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h”．

图1

　　请直接应用上述信息解决下列问题：如图2所示，当点P在△ABC内；如图3所示，当点P在△ABC外这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h₁、h₂、h₃与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．

　　　　　

图2　　　　　　　　　 图3

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：点P与△ABC的位置关系有三种，可用面积法对每一种情形进行讨论，其中后两种情况通过添加辅助线都可以转化成第一种情况． 　　解：当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍成立，过点P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K． 　　由题意得h1十h2=AK，易证KM=PF=h3． 　　∴　 h1+h2+h3=AK+KM=h． 　　当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立， 　　如图3所示，它们的关系是h1+h2-h3=h． 　　点评：本题是一道探索性问题，此题如果用三角形全等的方法解很繁，而改用面积法则方便得多．另外，对于探索性问题要从最简单、最特殊的情形入手，将复杂问题简单化．