Question

在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为

（-1，1）和（3，3）

．

Answer 1

分析：分两种情况：（1）如图①，点C在第一象限，（2）如图②，点C在第二象限．针对每一种情况，分别画出图形，再利用全等求出距离，从而得出C点坐标．

解答：解：分两种情况：
（1）如图①，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD与△ACE中，

∠BDC=∠AEC ∠BCD=∠ACE BC=AC

，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=

22+42

=2

5

，
∴AC=

2

2

AB=

10

，
CE²+（CE-2）²=AC²=10，
解得CE=3或-1（不合题意舍去）．
则点C坐标为（3，3）；
（2）如图②，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD与△ACE中，

∠BDC=∠AEC ∠BCD=∠ACE BC=AC

，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=

22+42

=2

5

，
∴AC=

2

2

AB=

10

，
CE²+（CE+2）²=AC²=10，
解得CE=1或-3（不合题意舍去）．
则点C坐标为（-1，1）．
综上可知点C坐标为（-1，1）和（3，3）．
故答案为：（-1，1）和（3，3）．

点评：考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形，注意分类思想的运用，有一定的难度．