Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，tan∠CAD=

4

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，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y．
（1）求AC和AD的长；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，可得∠ACB的正切值，在直角三角形ACB中可求得到AC，在等腰三角形ACD中利用勾股定理可得底边的一半，从而求得AD的长度；
（2）利用两角对应相等求得三角形AEF与三角形DCE相似，利用其性质可求得x与y的关系；
（3）对于等腰三角形要分别分三种情况进行逐一进行分析，分别求出x的值．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD．
∴tan∠ACB=tan∠CAD=

4

3

．
∴

AB

BC

=

4

3

．
∵AB=8，
∴BC=6．
则AC=10．
过点C作CH⊥AD于点H，
∴CH=AB=8，则AH=6．
∵CA=CD，
∴AD=2AH=12．

（2）∵CA=CD，
∴∠CAD=∠D．
∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，
∴∠FEC=∠D．
∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，
∴∠1=∠2．
∴△AEF∽△DCE．
∴

DE

AF

=

CD

AE

，
即

x

10-y

=

10

12-x

．
∴y=

1

10

x2-

6

5

x+10．

（3）若△EFC为等腰三角形．
①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，
∴AE=CD．
∵12-x=10，
∴x=2．
②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，
∴CE=AE=12-x．
在Rt△CHE中，由（12-x）²=（6-x）²+8²，
解得x=

11

3

．
③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，
此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去．
综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或x=

11

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角梯形及锐角三角形函数的定义等知识；应用相似的性质，得到比例式，借助比例式解题是很重要的方法，做题时注意应用，对于等腰三角形问题要注意分类讨论也是比较重要的，注意掌握．