Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，并经过点C，已知点A的坐标是（﹣6，0），点C的坐标是（﹣8，﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标及点B的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，并延长CD交抛物线于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积；

（4）抛物线上有一个动点M，与A，B两点构成△ABM，是否存在S△ADM=S△ACD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）B（﹣2，0）；

（3）S△ACE= 7.5；

（4）点M的坐标为（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）时，S△ADM=S△ACD．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）化为顶点式即可得到顶点坐标，令y=0，解方程即可得；

（3）求出直线CE的解析式，然后求出与x轴的交点坐标，利用S△ACE=S△ADE+S△ACD进行计算即可得；

（4）设M（x，﹣x2﹣4x﹣6），根据S△ABM=S△ACD，通过计算即可得.

试题解析：（1）根据题意得，解得，

所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）y=﹣（x+4）2+2，则抛物线的顶点坐标为（﹣4，2）；

当y=0时，﹣x2﹣4x﹣6=0，解得x1=﹣6， x2=﹣2，则B（﹣2，0）；

（3）设直线CD的解析式为y=mx+n，

把D（﹣4，0），C（﹣8，﹣6）代入得，解得，

所以直线CD的解析式为y=x+6，

解方程组 得 或，则E（﹣3，），

所以S△ACE=S△ADE+S△ACD=×2×+×2×6=7.5；

（4）存在．

设M（x，﹣x2﹣4x﹣6），

∵S△ABM=S△ACD，

∴×4|﹣x2﹣4x﹣6|=××2×3，

当﹣x2﹣4x﹣6=，解得x1=﹣3，x2=﹣5，此时M点坐标（﹣3，）或（﹣5，）；

当﹣x2﹣4x﹣6=﹣，解得x1=﹣4+，x2=﹣4﹣，此时M点坐标（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣），

综上所述，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）时，S△ADM=S△ACD．