Question

如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点B在函数的图象上，点P（m，n）在的图象上任意一点，过P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别是E，F，并设长方形OEPF和正方形OABC不重合部分的的面积为S。（提示，P可以在B的上下两侧）。

（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S＝时，求P点的坐标；
（3）求出S关于m的函数解析式。

Answer 1

（1）B(3，3)，k＝9；（2）或；（3）或S＝9－3m

试题分析：（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）根据S=n（m-AO）即可得到方程求解；
（3）根据S=n（m-AO）即可写出函数解析式．
（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵点B（3，3）在函数的图象上，
∴k=9；
（2）分两种情况：

①当点P₁在点B的左侧时，
∵P₁（m，n）在函数上，
∴mn=9．
∴S=m(n-3)=mn-3m=
∴m=，
∴n=6．
∴P₁(，6)；
②当点P₂在点B或B的右侧时，
∵P₂（m，n）在函数上，
∴mn=9．
∴S=(m-3)n=mn-3n=，
∴n=，
∴m=6．
∴P₂(6，)；
（3）当0＜m＜3时，S=9-3m；
当m≥3时，当x=m时，P的纵坐标是，
则与矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是边长是3，宽是的矩形，
则面积是：，
因而．
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.